簡(jiǎn)介中山大學(xué)2014學(xué)年第3學(xué)期《量子力學(xué)》A卷期末試卷及完整解答由賀彥章老師命題閉卷考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘5道大題共100分。內(nèi)容覆蓋一維粒子波函數(shù)與動(dòng)量分布、具有奇偶宇稱的一維勢(shì)場(chǎng)定態(tài)分析、非束縛態(tài)與散射態(tài)、一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的歸一化與期望值計(jì)算等量子力學(xué)核心模塊。試卷依次考查測(cè)量后波函數(shù)、撤銷勢(shì)場(chǎng)后的動(dòng)量分布函數(shù)定態(tài)薛定諤方程化簡(jiǎn)與奇宇稱態(tài)允許條件以及諧振子的歸一化系數(shù)、最可幾位置、位置/動(dòng)量/動(dòng)能/勢(shì)能期望值和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系解答按步驟展開(kāi)并保留關(guān)鍵推導(dǎo)。資源為單個(gè)PDF文件大小約339KB包含試題區(qū)域和手寫(xiě)解析便于在線查看或打印。目前已有49人學(xué)習(xí)適合物理專業(yè)本科生與考研復(fù)習(xí)者作為期末備考和概念鞏固的實(shí)用資料。1. 這份A卷不是普通習(xí)題集它是量子力學(xué)的全程壓縮包第一次翻開(kāi)這份《量子力學(xué)》A卷我是被它的分值分布震到的總共5道大題第三題諧振子獨(dú)占50分第二題δ勢(shì)場(chǎng)又拿走31分剩下三道題加起來(lái)才19分。也就是說(shuō)這份卷子根本沒(méi)打算平均用力它把大半權(quán)重壓在了「一維諧振子期望值計(jì)算」和「δ勢(shì)場(chǎng)連接條件」兩個(gè)核心模塊上。這跟我當(dāng)年備考時(shí)老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的判斷完全一致期末能不能過(guò)就看這兩塊扎不扎實(shí)。這份PDF是某高校2014學(xué)年第3學(xué)期的期末真題閉卷、120分鐘、附帶完整手寫(xiě)解答適合正在復(fù)習(xí)量子力學(xué)期末、準(zhǔn)備考研復(fù)試筆試或者想找一套「有標(biāo)準(zhǔn)答案」的真題來(lái)檢驗(yàn)自己水平的同學(xué)。它不是讓你泛讀的科普是一份能直接照著推演、對(duì)著批改的實(shí)戰(zhàn)材料。2. 五道大題的命題邏輯從δ函數(shù)到Mach-Zehnder干涉儀2.1 第一題測(cè)量坍縮與動(dòng)量分布——六分里藏著完整推導(dǎo)線第一題只有6分但它的解法和后面的第二題、第三題都共用同一個(gè)數(shù)學(xué)底子傅里葉變換。題目場(chǎng)景是t0時(shí)刻測(cè)量到粒子在x0位置然后瞬間撤銷勢(shì)場(chǎng)要你求t≥0時(shí)的動(dòng)量分布函數(shù)。測(cè)量后的波函數(shù)直接寫(xiě)為ψ(x,0)δ(x)這是測(cè)量坍縮的公理推論不需要額外推導(dǎo)。撤銷勢(shì)場(chǎng)后粒子做自由運(yùn)動(dòng)把初態(tài)展開(kāi)到動(dòng)量本征態(tài)上φ(p,0) (1/√(2π?)) ∫ δ(x) e^{-ipx/?} dx 1/√(2π?)自由演化只給每個(gè)動(dòng)量分量乘一個(gè)相位因子e^{-iEt/?}其中Ep2/2μ于是立刻得到動(dòng)量分布函數(shù)|φ(p,t)|2 |(1/√(2π?)) e^{-ip2t/2μ?}|2 1/(2π?)這個(gè)結(jié)果的反直覺(jué)之處在于粒子明明被測(cè)量到了確定位置x0但動(dòng)量分布卻是完全均勻的所有動(dòng)量出現(xiàn)概率相等。這正是不確定性原理的極端體現(xiàn)位置不確定度趨近于零時(shí)動(dòng)量不確定度趨近無(wú)窮。很多同學(xué)會(huì)在這里犯渾以為「測(cè)到了確定位置」就等于「動(dòng)量也有個(gè)確定范圍」答案卻恰恰相反。提示這題的選做部分要求討論分析實(shí)際命題意圖是引導(dǎo)你去思考測(cè)量坍縮在動(dòng)量空間的表現(xiàn)。答到「位置確定→動(dòng)量完全不確定→動(dòng)量分布均勻」這一層就足夠拿分。2.2 第二題δ勢(shì)場(chǎng)中的奇宇稱態(tài)——三十分把連接條件考到極致第二題31分是這份卷子的重頭戲之一。給的勢(shì)場(chǎng)是在|x|a區(qū)域內(nèi)有一個(gè)δ勢(shì)U?δ(x)區(qū)域外勢(shì)場(chǎng)為0。分兩問(wèn)E0時(shí)求奇宇稱本征態(tài)然后推導(dǎo)奇宇稱態(tài)允許存在的條件EU?時(shí)還要證明解不是束縛態(tài)。首先寫(xiě)定態(tài)薛定諤方程并化簡(jiǎn)。區(qū)域 |x|a 且 x≠0 處方程為-d2ψ/dx2 (2μU?/?2)δ(x)ψ (2μE/?2)ψ引入k22μE/?2和k22μ(U?-E)/?2這兩個(gè)記號(hào)方程就變成標(biāo)準(zhǔn)的二階常系數(shù)形式。奇宇稱解要求ψ(0)0所以|x|a區(qū)域內(nèi)的通解直接砍掉cos項(xiàng)只剩sin(kx)ψ(x) B sin(kx)-axaxa和x-a區(qū)域解是指數(shù)衰減形式。把奇宇稱的對(duì)稱性用上可以設(shè)xa區(qū)域?yàn)镃 e^{-kx}x-a區(qū)域自動(dòng)為-C e^{kx}這樣全局波函數(shù)才是奇函數(shù)。到這里所有系數(shù)都是跟邊界條件較量的結(jié)果。關(guān)鍵連接條件發(fā)生在x0處δ勢(shì)的跳躍條件和x±a處指數(shù)衰減解與內(nèi)部解的銜接。在xa處波函數(shù)連續(xù)給出B sin(ka) C e^{-ka}導(dǎo)數(shù)連續(xù)性要特別小心因?yàn)棣膭?shì)在x0處已經(jīng)讓一階導(dǎo)數(shù)發(fā)生了跳躍xa處反而是普通的連續(xù)點(diǎn)。把對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)ψ/ψ在xa處對(duì)齊就得到k cot(ka) -κ再結(jié)合k2 - k2 2μU?/?2就得到奇宇稱態(tài)存在的量化條件。這個(gè)條件說(shuō)明了為什么不是任意能量的奇宇稱態(tài)都存在它本質(zhì)上是一個(gè)超越方程只能數(shù)值求解或作圖分析。基態(tài)對(duì)應(yīng)最小的那個(gè)解波函數(shù)在勢(shì)阱內(nèi)是半波長(zhǎng)的sin曲線在勢(shì)阱外指數(shù)衰減概率密度集中在x0附近但節(jié)點(diǎn)在原點(diǎn)。EU?時(shí)情況完全不同勢(shì)阱外部區(qū)域E-U?0解從指數(shù)形式變成了平面波振蕩。此時(shí)波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不衰減積分發(fā)散顯然不歸一化。答案里用「C和D不同時(shí)為零」說(shuō)明波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處非零從而證明這是散射態(tài)而非束縛態(tài)。這個(gè)命題角度很典型就是讓考生區(qū)分「局域解」和「?jìng)鞑ソ狻沟臄?shù)學(xué)特征。2.3 第三題一維諧振子第一激發(fā)態(tài)——五十分全是積分基本功第三題獨(dú)占50分分值最高但考點(diǎn)其實(shí)最樸素一維諧振子第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)給出來(lái)要求歸一化系數(shù)、最可幾位置、位置期望值、動(dòng)量期望值、動(dòng)能期望值、勢(shì)能期望值最后求測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。七個(gè)小題全部圍繞同一個(gè)波函數(shù)展開(kāi)考察的就是期望值計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)流程。波函數(shù)形式為ψ(x,t) A x e^{-αx2/2} e^{-iωt/2...}第一激發(fā)態(tài)含一個(gè)x因子。歸一化時(shí)|ψ|2對(duì)全空間積分等于1被積函數(shù)變成A2x2e^{-αx2}。這里要用題目給的標(biāo)準(zhǔn)積分公式∫_{-∞}^{∞} y2 e^{-y2} dy √π/2變量替換y√α x積出來(lái)A2 (2α3/π)^{1/2}的倒數(shù)關(guān)系解得A (4α3/π)^{1/4}。這一步是整個(gè)50分的入口系數(shù)錯(cuò)了后面全跟著錯(cuò)。最可幾位置是|ψ(x,t)|2的極大值點(diǎn)。對(duì)|ψ|2取對(duì)數(shù)求導(dǎo)d/dx[ln|x2e^{-αx2}|] 2/x - 2αx 0解得x±1/√α。注意這里有兩處極值是因?yàn)榈谝患ぐl(fā)態(tài)的概率密度在原點(diǎn)為零左右對(duì)稱地各有一個(gè)峰。位置期望值?x?直接利用被積函數(shù)x3e^{-αx2}的奇對(duì)稱性積分為零沒(méi)有任何計(jì)算量。動(dòng)量期望值?p?同樣為零因?yàn)閜算符作用于實(shí)波函數(shù)再取積分后仍是奇函數(shù)。真正需要認(rèn)真算的是動(dòng)能和勢(shì)能期望值這兩項(xiàng)各7分。動(dòng)能期望值要先把p2作用到波函數(shù)上再積分涉及二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。p2ψ -?2d2ψ/dx2代入后展開(kāi)成多項(xiàng)式乘以高斯函數(shù)最后得到?T? 3?ω/4。勢(shì)能期望值利用對(duì)稱性可以直接寫(xiě)出?U? ?1/2 μω2x2? 3?ω/4。兩個(gè)期望值相等這是諧振子virial定理的自然結(jié)果計(jì)算完可以當(dāng)成校驗(yàn)信號(hào)。最后Δx2和Δp2相乘剛好等于?2/4恰好等于不確定性原理允許的下界。這個(gè)巧合是諧振子相干態(tài)的典型特征很多教材會(huì)專門(mén)討論。提示第三題給的標(biāo)準(zhǔn)積分只有兩條∫y2e^{-y2}dy√π/2和∫y?e^{-y2}dy3√π/4。所有更高效的積分都可以通過(guò)變量替換或分部積分歸到這兩個(gè)式子上不需要背更多公式。2.4 第四題瞬變磁場(chǎng)中的氫原子——五分送分的分離變量第四題只有5分是整份卷子里最容易拿滿分的題。題干給出總哈密頓量H H? - μ?σ·B其中H?與自旋無(wú)關(guān)空間均勻磁場(chǎng)B(t)與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)。要證明波函數(shù)可寫(xiě)成空間函數(shù)與自旋函數(shù)之積并寫(xiě)出它們滿足的波動(dòng)方程。思路就是把假設(shè)的乘積形式ψ(r,σz,t) φ(r,t)χ(σz,t)代入含時(shí)薛定諤方程然后把方程兩邊每一項(xiàng)拆開(kāi)。由于H?只作用在φ上相互作用項(xiàng)只含自旋算符方程自然分離。兩邊同時(shí)除以φχ后左邊是「關(guān)于r的項(xiàng)」加「關(guān)于σz的項(xiàng)」右邊拆成空間哈密頓量與自旋哈密頓量的作用結(jié)果于是分別令與r有關(guān)的項(xiàng)相等、與σz有關(guān)的項(xiàng)相等。空間部分得到i??φ/?t H?φ這就是自由氫原子不考慮自旋的薛定諤方程自旋部分得到i??χ/?t -μ?σ·B(t)χ。整個(gè)推導(dǎo)的關(guān)鍵在于先判斷「H?與自旋無(wú)關(guān)、B(t)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)」這兩個(gè)前提是否成立成立才能分離。有同學(xué)會(huì)把它當(dāng)成純粹的數(shù)學(xué)技巧其實(shí)這一步是物理判斷驅(qū)動(dòng)的兩個(gè)子系統(tǒng)的哈密頓量分別只作用于各自的自由度總波函數(shù)才能做直積分解。2.5 第五題Mach-Zehnder干涉的量子計(jì)量——八分的矩陣與相對(duì)相位第五題8分表面看是光學(xué)干涉實(shí)際考的是二態(tài)系統(tǒng)的算符矩陣表示和演化相位。題目給了一個(gè)Mach-Zehnder干涉儀模型初態(tài)經(jīng)BS1分束器變成|↑?和|↓?的等概率疊加然后自由演化T時(shí)間積累相對(duì)相位φ再過(guò)BS2復(fù)合最后測(cè)量?jī)陕窂降牧Ｗ訑?shù)差。第一步求分束器算符U的矩陣表示。利用已知條件U|↑?(|↑?|↓?)/√2、U|↓?(|↑?-|↓?)/√2設(shè)U為2×2矩陣對(duì)比系數(shù)馬上得到U (1/√2)[[1,1],[1,-1]]。這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Hadamard門(mén)量子計(jì)算里頻繁出現(xiàn)的那個(gè)。第二步求自由演化的相對(duì)相位。演化哈密頓量H (?ω/2)σz兩個(gè)基態(tài)|↑?和|↓?分別有能量?ω/2和-?ω/2。演化T時(shí)間后兩個(gè)分量各自乘上相位因子e^{-iωT/2}和e^{iωT/2}相對(duì)相位差就是φ ωT。注意這里有個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)相位差是兩個(gè)指數(shù)因子的比值不是差值的一半很多同學(xué)會(huì)算出ωT/2然后懷疑人生。第三步求末態(tài)布局?jǐn)?shù)差。把演化后的態(tài)再作用一個(gè)U展開(kāi)后干涉項(xiàng)里會(huì)出現(xiàn)cos(ωT)和sin(ωT)的組合。計(jì)算得到P↑ sin2(ωT/2)、P↓ cos2(ωT/2)粒子數(shù)差ΔP P↓ - P↑ -cos(ωT)。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明輸出口計(jì)數(shù)差是相位差的余弦函數(shù)通過(guò)測(cè)量計(jì)數(shù)差就能反推相位φ這就是干涉儀量子計(jì)量的核心原理。3. 把A卷當(dāng)成一次全真模擬從閉卷計(jì)時(shí)到對(duì)照批改3.1 模擬考試的操作步驟打印、計(jì)時(shí)、答題紙規(guī)范這份PDF拿到手我最建議的用法不是直接看解答而是先完整做一遍全真模擬。操作流程可以固定成下面這套考研復(fù)試和期末復(fù)習(xí)都適用。第一步打印試卷。用A4紙打印把解答部分先截掉只看題目區(qū)域。解答部分通常在后面幾頁(yè)打印時(shí)單獨(dú)抽出來(lái)放一邊。第二步設(shè)定計(jì)時(shí)器為120分鐘嚴(yán)格閉卷。桌面只留試卷、答題紙、筆和草稿紙參考書(shū)、筆記、手機(jī)全部收走。這里有一個(gè)容易被忽略的細(xì)節(jié)答題紙要用空白紙不能有印刷的提示或公式。第三步按考試紀(jì)律答題。每道題標(biāo)好題號(hào)解答按(1)、(2)、(3)分步寫(xiě)推導(dǎo)過(guò)程要完整。答案里特別提醒「不要只寫(xiě)結(jié)果每一步推導(dǎo)都要寫(xiě)清楚」這不僅是考試要求也是幫你事后復(fù)盤(pán)的關(guān)鍵。第四步時(shí)間到即停筆。120分鐘到了立刻停筆不要給自己「再多寫(xiě)兩分鐘」的緩沖。真實(shí)考試不會(huì)等你寫(xiě)完。做完以后先不要立刻看解答至少隔一小時(shí)。這段時(shí)間大腦會(huì)冷卻下來(lái)隔一段時(shí)間再看才能發(fā)現(xiàn)自己當(dāng)時(shí)真正卡在哪里。3.2 對(duì)照解答批改按步驟給分而不是只看結(jié)果批改時(shí)按步驟給分不要只對(duì)照最終答案。這份卷子的解答寫(xiě)得非常詳細(xì)正好可以用來(lái)做逐步驟比對(duì)。我一般會(huì)準(zhǔn)備一個(gè)批改記錄表按題號(hào)細(xì)分考察點(diǎn)每項(xiàng)標(biāo)記「對(duì)/錯(cuò)/半對(duì)」。表格里推薦列這幾列題號(hào)、考察點(diǎn)、分值、我的結(jié)果、標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果、失分原因。比如第二題可以拆成「定態(tài)薛定諤方程寫(xiě)出并化簡(jiǎn)」、9分「E0奇宇稱波函數(shù)」、12分「基態(tài)示意圖」、2分「允許條件推導(dǎo)」、4分「EU?證明非束縛態(tài)」、4分。第三題則拆成7個(gè)子項(xiàng)每項(xiàng)7分或8分逐一核對(duì)。對(duì)照批改時(shí)有一個(gè)很有用的技巧只看標(biāo)準(zhǔn)答案的中間步驟不看最終結(jié)果。先把中間步驟遮住最后一行的結(jié)果自己順著思路推一遍再看標(biāo)準(zhǔn)答案的下一步是否一致。這樣做能逼你思考「為什么這一步要這么變形」而不是機(jī)械地核對(duì)數(shù)字。3.3 從錯(cuò)題倒查知識(shí)點(diǎn)建立一個(gè)薄弱點(diǎn)清單批改完以后把失分點(diǎn)按知識(shí)點(diǎn)歸類。對(duì)照這份卷子的內(nèi)容常見(jiàn)的失分聚類是傅里葉變換系數(shù)錯(cuò)誤、δ勢(shì)連接條件不熟練、諧振子二階矩積分算錯(cuò)、分離變量時(shí)機(jī)判斷失誤、矩陣乘法順序顛倒。每一類對(duì)應(yīng)到教材的某個(gè)章節(jié)寫(xiě)進(jìn)清單里。薄弱點(diǎn)清單的格式可以是知識(shí)點(diǎn)傅里葉變換與動(dòng)量空間波函數(shù)失分表現(xiàn)p的期望值算出一個(gè)非零常數(shù)對(duì)應(yīng)題目第一題(2)、第三題(4)復(fù)習(xí)建議把動(dòng)量算符作用在波函數(shù)上時(shí)先寫(xiě)出p?ψ的完整表達(dá)式再積分不要跳步這個(gè)清單比單純刷題有用得多。它能讓你的復(fù)習(xí)從「再做一遍錯(cuò)題」變成「針對(duì)性地補(bǔ)某一類計(jì)算短板」。比如連續(xù)三次失分都在二階矩積分那就說(shuō)明你對(duì)高斯積分變量替換不夠熟需要集中練十道同類型題。4. 從解答里提煉解題套路期望值、邊界條件、分離變量三板斧4.1 算期望值先看奇偶性——很多積分根本不用算這份卷子的第三題里?x?和?p?都用「奇函數(shù)積分為零」直接秒殺。這個(gè)技巧可以推廣成一套通用判斷流程算任何一個(gè)期望值先把波函數(shù)乘上對(duì)應(yīng)算符作用后的結(jié)果觀察被積函數(shù)的奇偶性。如果被積函數(shù)是奇函數(shù)且積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱結(jié)果直接為零不需要?jiǎng)庸P。具體到一維諧振子第n個(gè)激發(fā)態(tài)的波函數(shù)帶有確定的宇稱n為偶數(shù)是偶函數(shù)n為奇數(shù)時(shí)是奇函數(shù)。乘上x(chóng)變成相反宇稱積分必為零乘上x(chóng)2保持宇稱不變積分才可能非零。所以「位置期望值為零」在諧振子問(wèn)題里不是一個(gè)需要計(jì)算的結(jié)論而是一個(gè)可以預(yù)判的必然結(jié)果。考試時(shí)先寫(xiě)「被積函數(shù)為奇函數(shù)積分為零」再寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)積分過(guò)程既省時(shí)間又不會(huì)丟步驟分。動(dòng)能期望值的計(jì)算里也有類似的預(yù)判機(jī)會(huì)。p?2的作用結(jié)果保持宇稱不變所以?p2?不會(huì)自動(dòng)為零必須完整計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)和積分。有些同學(xué)習(xí)慣性套用「動(dòng)量期望值為零」來(lái)推「動(dòng)能期望值為零」這是錯(cuò)的p?2的期望值跟p?的期望值完全是兩回事。4.2 δ勢(shì)邊界條件連續(xù)性加導(dǎo)數(shù)跳躍第二題的核心難點(diǎn)在δ勢(shì)的連接條件這部分值得單獨(dú)總結(jié)。一維δ勢(shì)V(x)U?δ(x)在x0處波函數(shù)本身連續(xù)但一階導(dǎo)數(shù)有一個(gè)確定的跳躍ψ(0?) - ψ(0?) (2μU?/?2)ψ(0)這個(gè)跳躍條件來(lái)自對(duì)定態(tài)薛定諤方程在x0鄰域積分。推導(dǎo)方式是設(shè)ε為一個(gè)很小正數(shù)對(duì)方程從-ε到ε積分δ函數(shù)的積分貢獻(xiàn)恰好是U?ψ(0)而ψ的積分等于ψ在上限減下限的差。令ε→0就得到跳躍條件。在這份卷子里奇宇稱解自動(dòng)滿足ψ(0)0所以跳躍條件右邊為零意味著導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處其實(shí)是連續(xù)的。這就是為什么解答里能直接把sin(kx)作為內(nèi)部解且不需要額外處理x0處的任何不連續(xù)。許多輔導(dǎo)書(shū)討論δ勢(shì)時(shí)默認(rèn)討論偶宇稱束縛態(tài)那個(gè)情形下導(dǎo)數(shù)跳躍才真正起作用。所以做題前先判斷宇稱再?zèng)Q定用連續(xù)性還是跳躍條件能省掉不少無(wú)效計(jì)算。在x±a處的處理則相反那里沒(méi)有δ勢(shì)波函數(shù)和導(dǎo)數(shù)都必須連續(xù)。連接條件一寫(xiě)就得到k cot(ka) -κ這樣的量化方程。這道題串起來(lái)的邏輯是內(nèi)解選型由對(duì)稱性決定邊界條件決定量化條件外部形態(tài)決定束縛態(tài)還是散射態(tài)三層各管各的。4.3 分離變量的前提判斷H?與自旋無(wú)關(guān)、B(t)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)第四題看起來(lái)只是一個(gè)計(jì)算題但它背后的方法論價(jià)值很高什么時(shí)候能安全地用「乘積波函數(shù)」判斷標(biāo)準(zhǔn)只有一條——總哈密頓量能否拆成兩個(gè)分別只作用于不同自由度的部分。H?只含空間算符B項(xiàng)只含自旋算符和含時(shí)系數(shù)它們之間沒(méi)有交叉項(xiàng)才能令φ(r,t)χ(σz,t)的分離變量形式成立。做題時(shí)如果直接假設(shè)ψ φχ而不說(shuō)明依據(jù)會(huì)被扣掉關(guān)鍵分。規(guī)范的答題路徑是先寫(xiě)「因?yàn)镠?與自旋無(wú)關(guān)B(t)與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)二者沒(méi)有耦合項(xiàng)」再代入分離變量形式。這個(gè)先后順序本身就是給分點(diǎn)。分離后得到的兩組方程互為獨(dú)立空間部分就是普通氫原子薛定諤方程自旋部分是一個(gè)含時(shí)的二能級(jí)系統(tǒng)。自旋方程i?dχ/dt -μ?σ·B(t)χ在磁場(chǎng)方向固定時(shí)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為對(duì)σz的本征態(tài)演化這就是第五題mathematica里用到的二態(tài)演化框架。同一份卷子里的第四題和第五題實(shí)際上是同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的兩次出場(chǎng)一次用微分方程語(yǔ)言一次用矩陣語(yǔ)言。5. 避坑批改自己答卷時(shí)最容易翻車的五個(gè)地方5.1 現(xiàn)象歸一化系數(shù)算出來(lái)是零第一次做第三題時(shí)我按基態(tài)的歸一化公式去套第一激發(fā)態(tài)∫A2e^{-αx2}dx 1反復(fù)算都是A2∫e^{-αx2}dx 1結(jié)果A正常算出來(lái)了但代入原波函數(shù)檢查發(fā)現(xiàn)完全不對(duì)。原因是第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)帶一個(gè)x因子|ψ|2 A2x2e^{-αx2}不是A2e^{-αx2}。少寫(xiě)了這個(gè)x2權(quán)重被積函數(shù)就不是標(biāo)準(zhǔn)高斯積分算出來(lái)的A值沒(méi)有任何意義。解決方法是每一步都先把波函數(shù)完整寫(xiě)出來(lái)再取模平方不要在腦子里跳步。5.2 現(xiàn)象動(dòng)量分布函數(shù)的歸一化因子反復(fù)對(duì)不上第一題的動(dòng)量空間波函數(shù)φ(p,0) 1/√(2π?)分布函數(shù)是它的模平方。有同學(xué)會(huì)寫(xiě)成φ(p,0) 1/√(2π)丟了?的因子。原因是把教材里「位置到動(dòng)量」的傅里葉變換公式記混了。量子力學(xué)里的傅里葉變換積分核是e^{-ipx/?}配套的系數(shù)是1/√(2π?)少寫(xiě)一個(gè)?會(huì)導(dǎo)致后續(xù)積分多出分母。解決方法是先把變換定義寫(xiě)在草稿紙上再代入不要憑記憶直接寫(xiě)結(jié)果。5.3 現(xiàn)象奇宇稱解里混入偶函數(shù)項(xiàng)第二題求奇宇稱本征態(tài)時(shí)有人會(huì)在|x|a區(qū)域?qū)懗靓? B sin(kx) C cos(kx)然后通過(guò)邊界條件硬算。這里的問(wèn)題在于既然已經(jīng)聲明討論奇宇稱內(nèi)解必須滿足ψ(0)0cos項(xiàng)當(dāng)場(chǎng)淘汰。硬保留cos項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致后面連接條件變成兩個(gè)方程糾纏在一起浪費(fèi)時(shí)間且容易出錯(cuò)。解決方法是寫(xiě)內(nèi)解前先默念「奇宇稱→原點(diǎn)波函數(shù)為零→只保留sin項(xiàng)」把這一步固化成本能。5.4 現(xiàn)象測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系算出來(lái)的積小于?/2第三題(7)要求Δx2Δp2有同學(xué)會(huì)先把?x2?算成?/2μω、把?p2?算成μω?/4相乘得?2/8和不確定關(guān)系下限?2/4對(duì)不上。實(shí)際上第一激發(fā)態(tài)的?x2? 3?/(2μω)?p2? 3μω?/2乘積是9?2/4減去?x??p?項(xiàng)才是3?/2。關(guān)鍵錯(cuò)誤出在把基態(tài)的二階矩公式套到了第一激發(fā)態(tài)上兩個(gè)態(tài)的徑向分布完全不同。解決方法是把「第n個(gè)激發(fā)態(tài)的?x2?、?p2?通用公式」推導(dǎo)一遍不要只背基態(tài)結(jié)論。5.5 現(xiàn)象第五題的矩陣乘進(jìn)去以后相位對(duì)不上Mach-Zehnder題目里末態(tài)是U作用于演化后的疊加態(tài)即|ψ_f? U(e^{-iωT/2}|↑? e^{iωT/2}|↓?)/√2。有同學(xué)會(huì)把矩陣U放到演化算符后面變成演化之后的U變換順序顛倒導(dǎo)致cos和sin項(xiàng)互換最終ΔP符號(hào)錯(cuò)。解決方法是始終沿時(shí)間方向書(shū)寫(xiě)算符作用順序先演化后分束矩陣乘法中演化算符在右、分束算符在左從右往左讀就是時(shí)間線。6. 進(jìn)階用法照著這份卷子的出題思路自己改造題目把這份A卷吃透以后還有一個(gè)很值的玩法拿它的出題框架當(dāng)模板自己改造參數(shù)生成一套新的模擬題。這個(gè)做法比我見(jiàn)過(guò)的任何題海戰(zhàn)術(shù)都高效因?yàn)槌鲱}過(guò)程本身就是最高強(qiáng)度的知識(shí)檢驗(yàn)。第三題的改造最容易。把「第一激發(fā)態(tài)」換成「第二激發(fā)態(tài)」甚至「相干態(tài)」波函數(shù)變成ψ(x,t) A(1 - 2αx2)e^{-αx2/2}e^{-i...}期望值、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系全部重算一遍計(jì)算量立刻上了一個(gè)臺(tái)階。第二題的改造方向是把δ勢(shì)的位置從中心挪到xb破壞對(duì)稱性看看這時(shí)候奇宇稱的分類還成不成立——你會(huì)發(fā)現(xiàn)宇稱分析失效必須老老實(shí)實(shí)地分段連接。第一題可以改測(cè)量位置從x0改成xa動(dòng)量分布函數(shù)變成常數(shù)乘一個(gè)相位因子結(jié)果幾乎不變但推導(dǎo)過(guò)程能幫你鞏固δ函數(shù)的傅里葉變換性質(zhì)。第四題和第五題的改造更靈活把磁場(chǎng)方向從z軸改成任意方向或者讓分束器A角不是嚴(yán)格的π/2最后的計(jì)數(shù)差公式會(huì)多出交叉項(xiàng)。我自己的習(xí)慣是每次考前拿這份卷子的框架改造出兩套自擬題一套按原難度一套故意加大計(jì)算量然后閉卷各做一遍。做完對(duì)照原卷看自己在哪些環(huán)節(jié)被改造后的題目卡住就能精準(zhǔn)定位知識(shí)盲區(qū)。這個(gè)過(guò)程里原解答的作用不只是「答案」更是「出題參考系」。你越熟悉標(biāo)準(zhǔn)解答的每一步在干嘛就越清楚哪些參數(shù)可以動(dòng)、哪些結(jié)構(gòu)不能動(dòng)——?jiǎng)恿藭?huì)變成另外一道物理問(wèn)題。從那以后我每次帶新人復(fù)習(xí)量子力學(xué)都強(qiáng)制他們先做一遍這份A卷然后按上面的方法改造一道題出來(lái)給我看。能獨(dú)立改出一套合理變體的人期末考試基本不會(huì)失手因?yàn)樗麄儾皇潜硶?huì)了答案而是看穿了命題的骨架。希望這份卷子和這篇拆解能幫你在量子力學(xué)的路上省下一些自己摸索的彎路。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取