分解到頻譜分析的核心原理與應(yīng)用)
1. 從信號(hào)到頻譜為什么我們需要Fourier變換如果你在信號(hào)處理、圖像分析或者物理領(lǐng)域工作過(guò)哪怕只是用手機(jī)聽(tīng)歌你其實(shí)都已經(jīng)在享受Fourier變換帶來(lái)的便利了。我們生活的世界充滿了各種信號(hào)聲音是空氣壓力的波動(dòng)圖像是光強(qiáng)的空間分布心電圖是心臟電活動(dòng)的記錄。這些信號(hào)在它們最原始的形式里通常都是以“時(shí)間”或“空間”為自變量的函數(shù)。比如一段音頻它的波形圖展示的就是聲音強(qiáng)度隨時(shí)間的變化。但問(wèn)題來(lái)了只看時(shí)域波形我們很難回答一些本質(zhì)問(wèn)題這段聲音里有多少低音、多少高音這張圖像里有哪些主要的紋理頻率這個(gè)振動(dòng)信號(hào)里導(dǎo)致設(shè)備異常的那個(gè)特定頻率的干擾源在哪里這就好比給你一份混合了各種水果的冰沙你很難一眼看出里面具體有草莓、香蕉還是芒果。Fourier變換就是那個(gè)神奇的“頻譜分析儀”或“水果分離器”。它的核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的、在時(shí)域或空域上可能看起來(lái)雜亂無(wú)章的信號(hào)分解成一系列不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)單正弦波和余弦波的疊加。這個(gè)想法深刻且強(qiáng)大。它意味著許多在時(shí)域中非常復(fù)雜的操作比如濾波、去噪、壓縮在頻域即Fourier變換后的世界里會(huì)變得異常簡(jiǎn)單直觀——你只需要對(duì)特定頻率的成分進(jìn)行增強(qiáng)、衰減或移除即可。因此理解Fourier變換及其衍生出的余弦變換和正弦變換不僅是掌握信號(hào)處理、通信、圖像處理等領(lǐng)域的基石更是培養(yǎng)一種“從另一個(gè)維度看問(wèn)題”的科學(xué)思維。2. 核心概念拆解Fourier變換家族的三位成員Fourier變換并非一個(gè)單一的公式而是一個(gè)根據(jù)信號(hào)特性和邊界條件演化出的工具家族。最核心的三位成員是經(jīng)典的Fourier變換、Fourier余弦變換和Fourier正弦變換。它們各有各的“脾氣”和適用場(chǎng)景。2.1 經(jīng)典Fourier變換復(fù)數(shù)域的全頻分析經(jīng)典Fourier變換FT是家族中最通用、最基礎(chǔ)的形式。它適用于定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)理論上從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。其公式為[ F(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt ]以及其逆變換[ f(t) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega ]這里f(t)是時(shí)域信號(hào)F(ω)是頻域表示ω是角頻率i是虛數(shù)單位。公式中的核函數(shù)e^{-iωt}是歐拉公式的體現(xiàn)e^{-iωt} cos(ωt) - i sin(ωt)。這意味著Fourier變換實(shí)質(zhì)上是將信號(hào)f(t)與一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)同時(shí)包含正弦和余弦分量做內(nèi)積從而同時(shí)提取出該頻率下信號(hào)的“余弦成分”和“正弦成分”信息分別對(duì)應(yīng)復(fù)頻譜的實(shí)部和虛部。為什么是復(fù)數(shù)這是關(guān)鍵。一個(gè)復(fù)數(shù)值F(ω)同時(shí)包含了該頻率分量的振幅和相位信息。振幅|F(ω)|告訴我們這個(gè)頻率成分的強(qiáng)度有多大而相位arg(F(ω))則告訴我們這個(gè)正弦波相對(duì)于時(shí)間零點(diǎn)的起始位置。對(duì)于信號(hào)的重建相位信息至關(guān)重要——丟失相位你只能得到一堆正確頻率和強(qiáng)度的正弦波但它們的疊加可能完全不是原來(lái)的信號(hào)。注意經(jīng)典Fourier變換要求信號(hào)絕對(duì)可積∫|f(t)|dt ∞這是一個(gè)較強(qiáng)的條件。許多工程中常用的信號(hào)如周期信號(hào)、階躍信號(hào)并不嚴(yán)格滿足為此發(fā)展出了廣義Fourier變換、拉普拉斯變換等工具這是后話。2.2 Fourier余弦變換與正弦變換實(shí)域下的“半空間”專(zhuān)家經(jīng)典FT很強(qiáng)大但計(jì)算涉及復(fù)數(shù)有時(shí)我們只關(guān)心振幅或者處理的信號(hào)具有特殊的對(duì)稱(chēng)性。更常見(jiàn)的情況是我們處理的信號(hào)f(t)只定義在t ≥ 0的半無(wú)窮區(qū)間比如表示時(shí)間起點(diǎn)之后的物理過(guò)程或者信號(hào)本身是偶函數(shù)或奇函數(shù)。這時(shí)Fourier余弦變換FCT和正弦變換FST就派上用場(chǎng)了。它們的定義直接源于將經(jīng)典FT的復(fù)指數(shù)核拆開(kāi)并利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行簡(jiǎn)化Fourier余弦變換 [ F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt ] 其逆變換形式類(lèi)似。Fourier正弦變換 [ F_s(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt ] 其逆變換形式類(lèi)似。核心區(qū)別與聯(lián)系定義域FCT和FST的積分區(qū)間都是[0, ∞)天然適用于“半無(wú)窮”問(wèn)題。核函數(shù)FCT使用cos(ωt)作為核FST使用sin(ωt)。cos是偶函數(shù)sin是奇函數(shù)。與經(jīng)典FT的關(guān)系如果一個(gè)實(shí)函數(shù)f(t)是偶函數(shù)f(-t) f(t)那么它的經(jīng)典Fourier變換F(ω)將是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)并且其虛部為零。此時(shí)F(ω)正好等于√(2π)倍的Fourier余弦變換。同理如果f(t)是奇函數(shù)f(-t) -f(t)其經(jīng)典FT是一個(gè)純虛的奇函數(shù)與Fourier正弦變換直接相關(guān)。信息內(nèi)容FCT和FST的結(jié)果都是實(shí)函數(shù)。它們丟失了相位信息或者說(shuō)隱含了特定的相位關(guān)系但保留了頻率分量的振幅信息。對(duì)于許多只需要頻譜幅度分析的應(yīng)用如某些類(lèi)型的濾波、功率譜估計(jì)這已經(jīng)足夠了。選擇FCT還是FST這取決于你的信號(hào)在t0處的邊界條件或者說(shuō)你希望如何將原函數(shù)從[0, ∞)偶延拓或奇延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸。如果你自然地將函數(shù)視為偶函數(shù)例如一個(gè)從零開(kāi)始衰減的脈沖其物理過(guò)程對(duì)稱(chēng)或者你關(guān)心函數(shù)在t0處的函數(shù)值因?yàn)榕佳油乇ＷC在原點(diǎn)連續(xù)那么使用FCT更合適。在求解某些偏微分方程如熱傳導(dǎo)方程在半無(wú)窮桿上的問(wèn)題時(shí)給定溫度初始分布常用FCT。如果你自然地將函數(shù)視為奇函數(shù)或者你關(guān)心函數(shù)在t0處的導(dǎo)數(shù)值奇延拓在原點(diǎn)函數(shù)值為零但導(dǎo)數(shù)可能隱含了通量等信息那么使用FST。例如在半無(wú)窮弦的振動(dòng)問(wèn)題中給定初始位移為零但初始速度不為零常用FST。3. 從理論到實(shí)踐關(guān)鍵操作與計(jì)算示例理解了定義我們來(lái)看看如何具體計(jì)算和應(yīng)用這些變換。我將通過(guò)幾個(gè)典型例子展示手算的思路并引申到數(shù)值計(jì)算FFT時(shí)需要注意的要點(diǎn)。3.1 經(jīng)典Fourier變換計(jì)算示例指數(shù)衰減信號(hào)考慮一個(gè)非?；A(chǔ)的信號(hào)單邊指數(shù)衰減信號(hào)f(t) e^{-at} * u(t)其中a 0u(t)是單位階躍函數(shù)保證t0時(shí)信號(hào)為0。這個(gè)信號(hào)在電路系統(tǒng)RC電路響應(yīng)、衰減振動(dòng)中很常見(jiàn)。計(jì)算其Fourier變換 [ F(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-at} u(t) e^{-i\omega t} dt \int_{0}^{\infty} e^{-(a i\omega)t} dt ] 計(jì)算這個(gè)積分 [ F(\omega) \left[ -\frac{1}{a i\omega} e^{-(a i\omega)t} \right]_{0}^{\infty} 0 - (-\frac{1}{a i\omega}) \frac{1}{a i\omega} ] 為了得到振幅譜和相位譜我們將其有理化 [ F(\omega) \frac{1}{a i\omega} \frac{a - i\omega}{a^2 \omega^2} \frac{a}{a^2 \omega^2} - i\frac{\omega}{a^2 \omega^2} ] 因此振幅譜|F(ω)| 1 / √(a2 ω2)相位譜φ(ω) -arctan(ω/a)實(shí)操心得從這個(gè)結(jié)果可以看出振幅譜隨著頻率ω增大而衰減這是一個(gè)低通濾波器的特性。參數(shù)a決定了衰減的快慢a越大頻譜越集中在低頻信號(hào)在時(shí)域衰減也越快。這個(gè)簡(jiǎn)單例子的推導(dǎo)過(guò)程是理解更復(fù)雜變換的基礎(chǔ)。3.2 Fourier余弦變換計(jì)算示例矩形脈沖的偶延拓考慮一個(gè)定義在[0, T]上的矩形脈沖f(t) 1, 當(dāng) 0 ≤ t ≤ T f(t)0, 當(dāng) t T。我們計(jì)算其FCT。根據(jù)定義 [ F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{T} 1 \cdot \cos(\omega t) dt \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left[ \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{T} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(\omega T)}{\omega} ]這個(gè)結(jié)果非常直觀它是一個(gè)sinc函數(shù)sin(x)/x的形式。頻譜在ω nπ/Tn為非零整數(shù)處過(guò)零點(diǎn)主瓣寬度與脈沖寬度T成反比——脈沖越窄T越小頻譜越寬脈沖越寬頻譜越集中。注意事項(xiàng)在ω0處上式出現(xiàn)0/0未定式。我們需要取極限 [ \lim_{\omega \to 0} F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \lim_{\omega \to 0} \frac{\sin(\omega T)}{\omega} \sqrt{\frac{2}{\pi}} T ] 這符合物理意義零頻率分量直流分量就是信號(hào)的平均值。3.3 數(shù)值計(jì)算的核心離散化與FFT在實(shí)際的工程和科學(xué)計(jì)算中我們處理的是離散采樣的信號(hào)使用的是離散Fourier變換DFT而快速Fourier變換FFT是計(jì)算DFT的高效算法。這里有幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是教科書(shū)上不常講透的“坑”。采樣與混疊根據(jù)奈奎斯特采樣定理采樣頻率fs必須大于信號(hào)最高頻率f_max的兩倍否則會(huì)發(fā)生高頻信號(hào)“偽裝”成低頻信號(hào)的混疊現(xiàn)象。在采樣前務(wù)必使用抗混疊濾波器低通濾波器將高于fs/2的頻率成分濾除。頻譜分辨率與補(bǔ)零DFT得到的頻率分辨率Δf fs / N其中N是采樣點(diǎn)數(shù)。N越大分辨率越高。如果你覺(jué)得分辨率不夠一個(gè)常見(jiàn)的技巧是對(duì)時(shí)域信號(hào)末尾補(bǔ)零Zero-Padding增加N。這不能提高真實(shí)的頻率分辨率因?yàn)闆](méi)增加實(shí)際信息但可以讓頻譜圖看起來(lái)更光滑并且通過(guò)“插值”讓頻率峰值的位置看起來(lái)更精確。幅度校正對(duì)于非周期信號(hào)DFT/FFT默認(rèn)假設(shè)信號(hào)是周期性的。如果信號(hào)首尾不連續(xù)會(huì)發(fā)生“頻譜泄漏”。加窗如漢寧窗、漢明窗可以抑制泄漏但會(huì)加寬主瓣。同時(shí)加窗會(huì)導(dǎo)致信號(hào)能量損失計(jì)算出的頻譜幅度需要乘以一個(gè)校正因子逆窗系數(shù)和進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)數(shù)信號(hào)的FFT優(yōu)化如果你的輸入信號(hào)f(t)是實(shí)函數(shù)那么其頻譜具有共軛對(duì)稱(chēng)性F(-ω) F*(ω)。利用這一特性可以同時(shí)計(jì)算兩個(gè)實(shí)信號(hào)的FFT或者使用專(zhuān)門(mén)的實(shí)數(shù)FFTRFFT算法計(jì)算量幾乎減半。在Python的numpy.fft庫(kù)中rfft和irfft就是為此設(shè)計(jì)的。從FFT結(jié)果到物理頻譜FFT直接輸出的復(fù)數(shù)數(shù)組Y其下標(biāo)k對(duì)應(yīng)的頻率為f_k k * fs / Nk0,1,...,N-1。對(duì)于雙邊譜幅度譜為|Y| / N除直流分量k0外其他頻率分量能量分居正負(fù)頻率通常展示時(shí)會(huì)將負(fù)頻率部分疊加到正頻率幅度乘以2。對(duì)于使用rfft得到的單邊譜直流分量 (k0) 幅度為|Y[0]| / N其他頻率分量 (k1,...,N/2) 幅度為2 * |Y[k]| / N。4. 典型應(yīng)用場(chǎng)景深度剖析Fourier變換家族的應(yīng)用幾乎滲透到所有工程和科學(xué)領(lǐng)域。下面我挑幾個(gè)有代表性的場(chǎng)景深入講講其中的門(mén)道。4.1 音頻處理與壓縮MP3背后的魔法我們聽(tīng)的數(shù)字音樂(lè)如MP3格式是Fourier變換應(yīng)用的典范。原始音頻如WAV格式記錄的是時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)量巨大。MP3壓縮的核心原理正是利用了人耳的聽(tīng)覺(jué)特性在頻域進(jìn)行壓縮。心理聲學(xué)模型人耳對(duì)不同頻率的敏感度不同對(duì)某些頻率分量特別是掩蔽閾值以下的不敏感。編碼器首先對(duì)音頻信號(hào)進(jìn)行加窗、分幀然后對(duì)每一幀做FFT得到該短時(shí)段內(nèi)的頻譜。頻域量化根據(jù)心理聲學(xué)模型計(jì)算出的掩蔽閾值對(duì)頻譜系數(shù)進(jìn)行有損量化。對(duì)聽(tīng)覺(jué)不重要的頻率成分分配更少的比特?cái)?shù)甚至置零對(duì)重要的成分保留更多細(xì)節(jié)。編碼與存儲(chǔ)將量化后的頻域系數(shù)以及一些邊信息用霍夫曼編碼等熵編碼技術(shù)進(jìn)一步壓縮得到最終的MP3比特流。實(shí)操心得在做音頻頻譜分析時(shí)窗函數(shù)的選擇和幀長(zhǎng)的設(shè)置至關(guān)重要。分析穩(wěn)態(tài)音樂(lè)常用較長(zhǎng)的窗如4096點(diǎn)以獲得高的頻率分辨率分析瞬態(tài)打擊樂(lè)則用短窗如256點(diǎn)以獲得好的時(shí)間分辨率。這就是短時(shí)Fourier變換STFT的思想也是聲譜圖Spectrogram的基礎(chǔ)。4.2 圖像處理與濾波從美顏到邊緣檢測(cè)數(shù)字圖像可以看作二維離散信號(hào)像素亮度/顏色在空間上的分布。二維Fourier變換將圖像從空間域變換到頻率域。低頻分量對(duì)應(yīng)圖像中變化平緩的部分如大面積的天空、墻面決定了圖像的整體輪廓和基調(diào)。高頻分量對(duì)應(yīng)圖像中變化劇烈的部分如物體的邊緣、紋理、細(xì)節(jié)和噪聲?；诖宋覀兛梢赃M(jìn)行各種操作低通濾波在頻域衰減或?yàn)V除高頻分量。效果是使圖像變模糊可以用于平滑噪聲、實(shí)現(xiàn)美顏磨皮效果。但過(guò)度濾波會(huì)導(dǎo)致邊緣丟失圖像失真。高通濾波在頻域衰減或?yàn)V除低頻分量。效果是突出邊緣和細(xì)節(jié)常用于邊緣檢測(cè)、圖像銳化。但也會(huì)放大噪聲。帶通/帶阻濾波選擇性通過(guò)或阻止特定頻率范圍。可用于去除周期性噪聲如掃描圖像中的摩爾紋、傳感器固定頻率干擾。常見(jiàn)問(wèn)題直接在頻域用理想濾波器矩形窗會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的“振鈴效應(yīng)”Ringing Artifacts因?yàn)樵诳臻g域?qū)?yīng)一個(gè)振蕩的sinc函數(shù)。實(shí)踐中通常使用巴特沃斯Butterworth或高斯Gaussian等具有平滑過(guò)渡帶的濾波器來(lái)避免這個(gè)問(wèn)題。4.3 偏微分方程求解Fourier變換的“降維打擊”在數(shù)學(xué)物理方程中Fourier變換是求解線性偏微分方程如熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程的利器尤其適用于無(wú)窮大或半無(wú)窮大區(qū)域的問(wèn)題。其核心思想是利用變換將偏微分方程PDE轉(zhuǎn)化為常微分方程O(píng)DE。以半無(wú)窮大桿的一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例 方程?u/?t α ?2u/?x2x ≥ 0, t ≥ 0初始條件u(x, 0) f(x)邊界條件u(0, t) 0端點(diǎn)溫度恒為零由于邊界條件u(0,t)0這暗示我們可以對(duì)空間變量x進(jìn)行奇延拓從而使用Fourier正弦變換。對(duì)方程兩邊關(guān)于x做FST 記U_s(ω, t) FST{ u(x, t) }。 利用FST的微分性質(zhì)FST{ ?2u/?x2 } -ω2 U_s(ω, t) √(2/π) ω u(0, t)。 代入邊界條件u(0,t)0微分項(xiàng)簡(jiǎn)化為-ω2 U_s(ω, t)。 于是PDE被轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間t的ODEdU_s/dt -α ω2 U_s這個(gè)ODE很容易解出U_s(ω, t) U_s(ω, 0) e^{-α ω2 t}。 其中U_s(ω, 0) FST{ f(x) }是已知初始條件的正弦變換。 最后對(duì)U_s(ω, t)進(jìn)行Fourier正弦逆變換就得到了原問(wèn)題的解u(x, t)。為什么用正弦變換因?yàn)檫吔鐥l件u(0,t)0天然符合奇延拓。如果邊界條件是?u/?x (0,t) 0絕熱則應(yīng)該使用Fourier余弦變換。這個(gè)選擇直接簡(jiǎn)化了計(jì)算。5. 避坑指南與高級(jí)話題在實(shí)際使用中尤其是編程實(shí)現(xiàn)時(shí)會(huì)遇到很多棘手的問(wèn)題。這里我總結(jié)幾個(gè)高頻“坑點(diǎn)”和進(jìn)階思路。5.1 頻譜分析的十大常見(jiàn)誤區(qū)與排查表問(wèn)題現(xiàn)象可能原因排查與解決方法頻譜出現(xiàn)大量高頻毛刺或“鏡像”頻率混疊。信號(hào)包含高于fs/2的頻率成分。1. 提高采樣頻率fs。2.務(wù)必在采樣前接入硬件或軟件抗混疊低通濾波器截止頻率設(shè)為fs/2左右。頻譜主峰很寬頻率定位不準(zhǔn)頻譜泄漏。信號(hào)長(zhǎng)度不是信號(hào)周期的整數(shù)倍首尾不連續(xù)。1. 增加采樣點(diǎn)數(shù)N提高頻率分辨率Δf。2. 使用加窗函數(shù)如漢寧窗平滑截?cái)噙吘?。注意加窗?huì)降低頻譜幅度并加寬主瓣需進(jìn)行幅度校正。計(jì)算出的頻譜幅度與理論值不符幅度未歸一化。FFT算法沒(méi)有進(jìn)行正確的幅度縮放。對(duì)于雙邊譜Amp np.abs(fft_result) / N。對(duì)于單邊譜實(shí)信號(hào)Amp[0] / N; Amp[1:] / (N/2)。零頻率直流分量異常大信號(hào)存在直流偏移非零均值。在分析前先減去信號(hào)的均值signal signal - np.mean(signal)。頻譜在某個(gè)頻率出現(xiàn)單一尖峰但信號(hào)并無(wú)該周期頻率混淆?？赡苁请娫垂ゎl干擾50/60Hz或設(shè)備固有振動(dòng)頻率。檢查實(shí)驗(yàn)環(huán)境排除固定頻率干擾源。在頻譜圖中工頻干擾通常表現(xiàn)為一個(gè)非常尖銳的孤立峰。使用rfft后做逆變換信號(hào)與原始不一致逆變換函數(shù)用錯(cuò)。正變換用np.fft.rfft逆變換必須用np.fft.irfft。使用ifft會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。相位譜看起來(lái)雜亂無(wú)章1. 信號(hào)信噪比太低相位對(duì)噪聲敏感。2. 計(jì)算相位時(shí)未處理幅值接近零的點(diǎn)。1. 提高信號(hào)質(zhì)量或進(jìn)行平均。2. 在計(jì)算np.angle前先設(shè)置一個(gè)幅值閾值低于閾值的點(diǎn)相位設(shè)為零或忽略。對(duì)圖像做FFT2后低頻分量不在中心未使用fftshift。二維FFT后零頻在四個(gè)角上。使用np.fft.fftshift將零頻移到頻譜圖中心便于觀察。濾波操作后記得用ifftshift移回去再做逆變換。計(jì)算速度很慢尤其是大尺寸圖像使用了樸素的DFT算法O(N2)復(fù)雜度。確保使用FFT算法O(N log N)。對(duì)于卷積操作考慮在頻域利用卷積定理進(jìn)行計(jì)算通常比時(shí)域卷積快得多。變換結(jié)果出現(xiàn)復(fù)數(shù)但輸入是實(shí)信號(hào)這是正常的。經(jīng)典FT輸出就是復(fù)數(shù)。如果需要實(shí)值輸出檢查你是否應(yīng)該使用Fourier余弦變換或正弦變換或者你只是需要取幅度譜np.abs()或功率譜密度PSD。5.2 從傅里葉到小波當(dāng)固定窗口不再適用經(jīng)典Fourier變換及其短時(shí)變體STFT有一個(gè)根本局限它使用固定時(shí)間長(zhǎng)度的窗函數(shù)。這導(dǎo)致了時(shí)間分辨率與頻率分辨率之間的“海森堡”式權(quán)衡想要高頻分辨率窄帶就需要長(zhǎng)時(shí)窗但長(zhǎng)時(shí)窗會(huì)模糊瞬態(tài)事件的時(shí)間定位想要高時(shí)間分辨率就需要短時(shí)窗但短時(shí)窗會(huì)導(dǎo)致頻率分辨率下降。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)如音樂(lè)、地震波、心電圖中特征波形其頻率成分是隨時(shí)間變化的。這時(shí)小波變換Wavelet Transform是更強(qiáng)大的工具。小波變換使用一個(gè)可伸縮、平移的母小波函數(shù)作為核從而能在不同尺度對(duì)應(yīng)不同頻率和不同位置分析信號(hào)實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)時(shí)頻局部化的多分辨率分析。如何選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)法則是如果你的信號(hào)頻率成分相對(duì)穩(wěn)定或者你只關(guān)心全局頻譜Fourier變換及其衍生工具簡(jiǎn)單高效。如果你的信號(hào)包含瞬態(tài)、突變或者你需要同時(shí)精確知道“什么頻率”發(fā)生在“什么時(shí)間”小波變換是更好的選擇。例如在檢測(cè)心電圖的QRS波群一個(gè)短時(shí)瞬態(tài)或分析金融時(shí)間序列的突變點(diǎn)時(shí)小波變換表現(xiàn)出色。理解Fourier變換是理解小波變換的基石。許多小波如Morlet小波本身就是在復(fù)指數(shù)函數(shù)上加了一個(gè)高斯窗可以看作是STFT的一種優(yōu)化變體。掌握了頻域分析的思維再學(xué)習(xí)時(shí)頻分析就會(huì)水到渠成。 Fourier變換家族：從信號(hào)分解到頻譜分析的核心原理與應(yīng)用
1. 從信號(hào)到頻譜為什么我們需要Fourier變換如果你在信號(hào)處理、圖像分析或者物理領(lǐng)域工作過(guò)哪怕只是用手機(jī)聽(tīng)歌你其實(shí)都已經(jīng)在享受Fourier變換帶來(lái)的便利了。我們生活的世界充滿了各種信號(hào)聲音是空氣壓力的波動(dòng)圖像是光強(qiáng)的空間分布心電圖是心臟電活動(dòng)的記錄。這些信號(hào)在它們最原始的形式里通常都是以“時(shí)間”或“空間”為自變量的函數(shù)。比如一段音頻它的波形圖展示的就是聲音強(qiáng)度隨時(shí)間的變化。但問(wèn)題來(lái)了只看時(shí)域波形我們很難回答一些本質(zhì)問(wèn)題這段聲音里有多少低音、多少高音這張圖像里有哪些主要的紋理頻率這個(gè)振動(dòng)信號(hào)里導(dǎo)致設(shè)備異常的那個(gè)特定頻率的干擾源在哪里這就好比給你一份混合了各種水果的冰沙你很難一眼看出里面具體有草莓、香蕉還是芒果。Fourier變換就是那個(gè)神奇的“頻譜分析儀”或“水果分離器”。它的核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的、在時(shí)域或空域上可能看起來(lái)雜亂無(wú)章的信號(hào)分解成一系列不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)單正弦波和余弦波的疊加。這個(gè)想法深刻且強(qiáng)大。它意味著許多在時(shí)域中非常復(fù)雜的操作比如濾波、去噪、壓縮在頻域即Fourier變換后的世界里會(huì)變得異常簡(jiǎn)單直觀——你只需要對(duì)特定頻率的成分進(jìn)行增強(qiáng)、衰減或移除即可。因此理解Fourier變換及其衍生出的余弦變換和正弦變換不僅是掌握信號(hào)處理、通信、圖像處理等領(lǐng)域的基石更是培養(yǎng)一種“從另一個(gè)維度看問(wèn)題”的科學(xué)思維。2. 核心概念拆解Fourier變換家族的三位成員Fourier變換并非一個(gè)單一的公式而是一個(gè)根據(jù)信號(hào)特性和邊界條件演化出的工具家族。最核心的三位成員是經(jīng)典的Fourier變換、Fourier余弦變換和Fourier正弦變換。它們各有各的“脾氣”和適用場(chǎng)景。2.1 經(jīng)典Fourier變換復(fù)數(shù)域的全頻分析經(jīng)典Fourier變換FT是家族中最通用、最基礎(chǔ)的形式。它適用于定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)理論上從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。其公式為[ F(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt ]以及其逆變換[ f(t) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega ]這里f(t)是時(shí)域信號(hào)F(ω)是頻域表示ω是角頻率i是虛數(shù)單位。公式中的核函數(shù)e^{-iωt}是歐拉公式的體現(xiàn)e^{-iωt} cos(ωt) - i sin(ωt)。這意味著Fourier變換實(shí)質(zhì)上是將信號(hào)f(t)與一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)同時(shí)包含正弦和余弦分量做內(nèi)積從而同時(shí)提取出該頻率下信號(hào)的“余弦成分”和“正弦成分”信息分別對(duì)應(yīng)復(fù)頻譜的實(shí)部和虛部。為什么是復(fù)數(shù)這是關(guān)鍵。一個(gè)復(fù)數(shù)值F(ω)同時(shí)包含了該頻率分量的振幅和相位信息。振幅|F(ω)|告訴我們這個(gè)頻率成分的強(qiáng)度有多大而相位arg(F(ω))則告訴我們這個(gè)正弦波相對(duì)于時(shí)間零點(diǎn)的起始位置。對(duì)于信號(hào)的重建相位信息至關(guān)重要——丟失相位你只能得到一堆正確頻率和強(qiáng)度的正弦波但它們的疊加可能完全不是原來(lái)的信號(hào)。注意經(jīng)典Fourier變換要求信號(hào)絕對(duì)可積∫|f(t)|dt ∞這是一個(gè)較強(qiáng)的條件。許多工程中常用的信號(hào)如周期信號(hào)、階躍信號(hào)并不嚴(yán)格滿足為此發(fā)展出了廣義Fourier變換、拉普拉斯變換等工具這是后話。2.2 Fourier余弦變換與正弦變換實(shí)域下的“半空間”專(zhuān)家經(jīng)典FT很強(qiáng)大但計(jì)算涉及復(fù)數(shù)有時(shí)我們只關(guān)心振幅或者處理的信號(hào)具有特殊的對(duì)稱(chēng)性。更常見(jiàn)的情況是我們處理的信號(hào)f(t)只定義在t ≥ 0的半無(wú)窮區(qū)間比如表示時(shí)間起點(diǎn)之后的物理過(guò)程或者信號(hào)本身是偶函數(shù)或奇函數(shù)。這時(shí)Fourier余弦變換FCT和正弦變換FST就派上用場(chǎng)了。它們的定義直接源于將經(jīng)典FT的復(fù)指數(shù)核拆開(kāi)并利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行簡(jiǎn)化Fourier余弦變換 [ F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt ] 其逆變換形式類(lèi)似。Fourier正弦變換 [ F_s(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt ] 其逆變換形式類(lèi)似。核心區(qū)別與聯(lián)系定義域FCT和FST的積分區(qū)間都是[0, ∞)天然適用于“半無(wú)窮”問(wèn)題。核函數(shù)FCT使用cos(ωt)作為核FST使用sin(ωt)。cos是偶函數(shù)sin是奇函數(shù)。與經(jīng)典FT的關(guān)系如果一個(gè)實(shí)函數(shù)f(t)是偶函數(shù)f(-t) f(t)那么它的經(jīng)典Fourier變換F(ω)將是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)并且其虛部為零。此時(shí)F(ω)正好等于√(2π)倍的Fourier余弦變換。同理如果f(t)是奇函數(shù)f(-t) -f(t)其經(jīng)典FT是一個(gè)純虛的奇函數(shù)與Fourier正弦變換直接相關(guān)。信息內(nèi)容FCT和FST的結(jié)果都是實(shí)函數(shù)。它們丟失了相位信息或者說(shuō)隱含了特定的相位關(guān)系但保留了頻率分量的振幅信息。對(duì)于許多只需要頻譜幅度分析的應(yīng)用如某些類(lèi)型的濾波、功率譜估計(jì)這已經(jīng)足夠了。選擇FCT還是FST這取決于你的信號(hào)在t0處的邊界條件或者說(shuō)你希望如何將原函數(shù)從[0, ∞)偶延拓或奇延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸。如果你自然地將函數(shù)視為偶函數(shù)例如一個(gè)從零開(kāi)始衰減的脈沖其物理過(guò)程對(duì)稱(chēng)或者你關(guān)心函數(shù)在t0處的函數(shù)值因?yàn)榕佳油乇ＷC在原點(diǎn)連續(xù)那么使用FCT更合適。在求解某些偏微分方程如熱傳導(dǎo)方程在半無(wú)窮桿上的問(wèn)題時(shí)給定溫度初始分布常用FCT。如果你自然地將函數(shù)視為奇函數(shù)或者你關(guān)心函數(shù)在t0處的導(dǎo)數(shù)值奇延拓在原點(diǎn)函數(shù)值為零但導(dǎo)數(shù)可能隱含了通量等信息那么使用FST。例如在半無(wú)窮弦的振動(dòng)問(wèn)題中給定初始位移為零但初始速度不為零常用FST。3. 從理論到實(shí)踐關(guān)鍵操作與計(jì)算示例理解了定義我們來(lái)看看如何具體計(jì)算和應(yīng)用這些變換。我將通過(guò)幾個(gè)典型例子展示手算的思路并引申到數(shù)值計(jì)算FFT時(shí)需要注意的要點(diǎn)。3.1 經(jīng)典Fourier變換計(jì)算示例指數(shù)衰減信號(hào)考慮一個(gè)非?；A(chǔ)的信號(hào)單邊指數(shù)衰減信號(hào)f(t) e^{-at} * u(t)其中a 0u(t)是單位階躍函數(shù)保證t0時(shí)信號(hào)為0。這個(gè)信號(hào)在電路系統(tǒng)RC電路響應(yīng)、衰減振動(dòng)中很常見(jiàn)。計(jì)算其Fourier變換 [ F(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-at} u(t) e^{-i\omega t} dt \int_{0}^{\infty} e^{-(a i\omega)t} dt ] 計(jì)算這個(gè)積分 [ F(\omega) \left[ -\frac{1}{a i\omega} e^{-(a i\omega)t} \right]_{0}^{\infty} 0 - (-\frac{1}{a i\omega}) \frac{1}{a i\omega} ] 為了得到振幅譜和相位譜我們將其有理化 [ F(\omega) \frac{1}{a i\omega} \frac{a - i\omega}{a^2 \omega^2} \frac{a}{a^2 \omega^2} - i\frac{\omega}{a^2 \omega^2} ] 因此振幅譜|F(ω)| 1 / √(a2 ω2)相位譜φ(ω) -arctan(ω/a)實(shí)操心得從這個(gè)結(jié)果可以看出振幅譜隨著頻率ω增大而衰減這是一個(gè)低通濾波器的特性。參數(shù)a決定了衰減的快慢a越大頻譜越集中在低頻信號(hào)在時(shí)域衰減也越快。這個(gè)簡(jiǎn)單例子的推導(dǎo)過(guò)程是理解更復(fù)雜變換的基礎(chǔ)。3.2 Fourier余弦變換計(jì)算示例矩形脈沖的偶延拓考慮一個(gè)定義在[0, T]上的矩形脈沖f(t) 1, 當(dāng) 0 ≤ t ≤ T f(t)0, 當(dāng) t T。我們計(jì)算其FCT。根據(jù)定義 [ F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{T} 1 \cdot \cos(\omega t) dt \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left[ \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{T} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(\omega T)}{\omega} ]這個(gè)結(jié)果非常直觀它是一個(gè)sinc函數(shù)sin(x)/x的形式。頻譜在ω nπ/Tn為非零整數(shù)處過(guò)零點(diǎn)主瓣寬度與脈沖寬度T成反比——脈沖越窄T越小頻譜越寬脈沖越寬頻譜越集中。注意事項(xiàng)在ω0處上式出現(xiàn)0/0未定式。我們需要取極限 [ \lim_{\omega \to 0} F_c(\omega) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \lim_{\omega \to 0} \frac{\sin(\omega T)}{\omega} \sqrt{\frac{2}{\pi}} T ] 這符合物理意義零頻率分量直流分量就是信號(hào)的平均值。3.3 數(shù)值計(jì)算的核心離散化與FFT在實(shí)際的工程和科學(xué)計(jì)算中我們處理的是離散采樣的信號(hào)使用的是離散Fourier變換DFT而快速Fourier變換FFT是計(jì)算DFT的高效算法。這里有幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是教科書(shū)上不常講透的“坑”。采樣與混疊根據(jù)奈奎斯特采樣定理采樣頻率fs必須大于信號(hào)最高頻率f_max的兩倍否則會(huì)發(fā)生高頻信號(hào)“偽裝”成低頻信號(hào)的混疊現(xiàn)象。在采樣前務(wù)必使用抗混疊濾波器低通濾波器將高于fs/2的頻率成分濾除。頻譜分辨率與補(bǔ)零DFT得到的頻率分辨率Δf fs / N其中N是采樣點(diǎn)數(shù)。N越大分辨率越高。如果你覺(jué)得分辨率不夠一個(gè)常見(jiàn)的技巧是對(duì)時(shí)域信號(hào)末尾補(bǔ)零Zero-Padding增加N。這不能提高真實(shí)的頻率分辨率因?yàn)闆](méi)增加實(shí)際信息但可以讓頻譜圖看起來(lái)更光滑并且通過(guò)“插值”讓頻率峰值的位置看起來(lái)更精確。幅度校正對(duì)于非周期信號(hào)DFT/FFT默認(rèn)假設(shè)信號(hào)是周期性的。如果信號(hào)首尾不連續(xù)會(huì)發(fā)生“頻譜泄漏”。加窗如漢寧窗、漢明窗可以抑制泄漏但會(huì)加寬主瓣。同時(shí)加窗會(huì)導(dǎo)致信號(hào)能量損失計(jì)算出的頻譜幅度需要乘以一個(gè)校正因子逆窗系數(shù)和進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)數(shù)信號(hào)的FFT優(yōu)化如果你的輸入信號(hào)f(t)是實(shí)函數(shù)那么其頻譜具有共軛對(duì)稱(chēng)性F(-ω) F*(ω)。利用這一特性可以同時(shí)計(jì)算兩個(gè)實(shí)信號(hào)的FFT或者使用專(zhuān)門(mén)的實(shí)數(shù)FFTRFFT算法計(jì)算量幾乎減半。在Python的numpy.fft庫(kù)中rfft和irfft就是為此設(shè)計(jì)的。從FFT結(jié)果到物理頻譜FFT直接輸出的復(fù)數(shù)數(shù)組Y其下標(biāo)k對(duì)應(yīng)的頻率為f_k k * fs / Nk0,1,...,N-1。對(duì)于雙邊譜幅度譜為|Y| / N除直流分量k0外其他頻率分量能量分居正負(fù)頻率通常展示時(shí)會(huì)將負(fù)頻率部分疊加到正頻率幅度乘以2。對(duì)于使用rfft得到的單邊譜直流分量 (k0) 幅度為|Y[0]| / N其他頻率分量 (k1,...,N/2) 幅度為2 * |Y[k]| / N。4. 典型應(yīng)用場(chǎng)景深度剖析Fourier變換家族的應(yīng)用幾乎滲透到所有工程和科學(xué)領(lǐng)域。下面我挑幾個(gè)有代表性的場(chǎng)景深入講講其中的門(mén)道。4.1 音頻處理與壓縮MP3背后的魔法我們聽(tīng)的數(shù)字音樂(lè)如MP3格式是Fourier變換應(yīng)用的典范。原始音頻如WAV格式記錄的是時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)量巨大。MP3壓縮的核心原理正是利用了人耳的聽(tīng)覺(jué)特性在頻域進(jìn)行壓縮。心理聲學(xué)模型人耳對(duì)不同頻率的敏感度不同對(duì)某些頻率分量特別是掩蔽閾值以下的不敏感。編碼器首先對(duì)音頻信號(hào)進(jìn)行加窗、分幀然后對(duì)每一幀做FFT得到該短時(shí)段內(nèi)的頻譜。頻域量化根據(jù)心理聲學(xué)模型計(jì)算出的掩蔽閾值對(duì)頻譜系數(shù)進(jìn)行有損量化。對(duì)聽(tīng)覺(jué)不重要的頻率成分分配更少的比特?cái)?shù)甚至置零對(duì)重要的成分保留更多細(xì)節(jié)。編碼與存儲(chǔ)將量化后的頻域系數(shù)以及一些邊信息用霍夫曼編碼等熵編碼技術(shù)進(jìn)一步壓縮得到最終的MP3比特流。實(shí)操心得在做音頻頻譜分析時(shí)窗函數(shù)的選擇和幀長(zhǎng)的設(shè)置至關(guān)重要。分析穩(wěn)態(tài)音樂(lè)常用較長(zhǎng)的窗如4096點(diǎn)以獲得高的頻率分辨率分析瞬態(tài)打擊樂(lè)則用短窗如256點(diǎn)以獲得好的時(shí)間分辨率。這就是短時(shí)Fourier變換STFT的思想也是聲譜圖Spectrogram的基礎(chǔ)。4.2 圖像處理與濾波從美顏到邊緣檢測(cè)數(shù)字圖像可以看作二維離散信號(hào)像素亮度/顏色在空間上的分布。二維Fourier變換將圖像從空間域變換到頻率域。低頻分量對(duì)應(yīng)圖像中變化平緩的部分如大面積的天空、墻面決定了圖像的整體輪廓和基調(diào)。高頻分量對(duì)應(yīng)圖像中變化劇烈的部分如物體的邊緣、紋理、細(xì)節(jié)和噪聲?；诖宋覀兛梢赃M(jìn)行各種操作低通濾波在頻域衰減或?yàn)V除高頻分量。效果是使圖像變模糊可以用于平滑噪聲、實(shí)現(xiàn)美顏磨皮效果。但過(guò)度濾波會(huì)導(dǎo)致邊緣丟失圖像失真。高通濾波在頻域衰減或?yàn)V除低頻分量。效果是突出邊緣和細(xì)節(jié)常用于邊緣檢測(cè)、圖像銳化。但也會(huì)放大噪聲。帶通/帶阻濾波選擇性通過(guò)或阻止特定頻率范圍。可用于去除周期性噪聲如掃描圖像中的摩爾紋、傳感器固定頻率干擾。常見(jiàn)問(wèn)題直接在頻域用理想濾波器矩形窗會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的“振鈴效應(yīng)”Ringing Artifacts因?yàn)樵诳臻g域?qū)?yīng)一個(gè)振蕩的sinc函數(shù)。實(shí)踐中通常使用巴特沃斯Butterworth或高斯Gaussian等具有平滑過(guò)渡帶的濾波器來(lái)避免這個(gè)問(wèn)題。4.3 偏微分方程求解Fourier變換的“降維打擊”在數(shù)學(xué)物理方程中Fourier變換是求解線性偏微分方程如熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程的利器尤其適用于無(wú)窮大或半無(wú)窮大區(qū)域的問(wèn)題。其核心思想是利用變換將偏微分方程PDE轉(zhuǎn)化為常微分方程O(píng)DE。以半無(wú)窮大桿的一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例 方程?u/?t α ?2u/?x2x ≥ 0, t ≥ 0初始條件u(x, 0) f(x)邊界條件u(0, t) 0端點(diǎn)溫度恒為零由于邊界條件u(0,t)0這暗示我們可以對(duì)空間變量x進(jìn)行奇延拓從而使用Fourier正弦變換。對(duì)方程兩邊關(guān)于x做FST 記U_s(ω, t) FST{ u(x, t) }。 利用FST的微分性質(zhì)FST{ ?2u/?x2 } -ω2 U_s(ω, t) √(2/π) ω u(0, t)。 代入邊界條件u(0,t)0微分項(xiàng)簡(jiǎn)化為-ω2 U_s(ω, t)。 于是PDE被轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間t的ODEdU_s/dt -α ω2 U_s這個(gè)ODE很容易解出U_s(ω, t) U_s(ω, 0) e^{-α ω2 t}。 其中U_s(ω, 0) FST{ f(x) }是已知初始條件的正弦變換。 最后對(duì)U_s(ω, t)進(jìn)行Fourier正弦逆變換就得到了原問(wèn)題的解u(x, t)。為什么用正弦變換因?yàn)檫吔鐥l件u(0,t)0天然符合奇延拓。如果邊界條件是?u/?x (0,t) 0絕熱則應(yīng)該使用Fourier余弦變換。這個(gè)選擇直接簡(jiǎn)化了計(jì)算。5. 避坑指南與高級(jí)話題在實(shí)際使用中尤其是編程實(shí)現(xiàn)時(shí)會(huì)遇到很多棘手的問(wèn)題。這里我總結(jié)幾個(gè)高頻“坑點(diǎn)”和進(jìn)階思路。5.1 頻譜分析的十大常見(jiàn)誤區(qū)與排查表問(wèn)題現(xiàn)象可能原因排查與解決方法頻譜出現(xiàn)大量高頻毛刺或“鏡像”頻率混疊。信號(hào)包含高于fs/2的頻率成分。1. 提高采樣頻率fs。2.務(wù)必在采樣前接入硬件或軟件抗混疊低通濾波器截止頻率設(shè)為fs/2左右。頻譜主峰很寬頻率定位不準(zhǔn)頻譜泄漏。信號(hào)長(zhǎng)度不是信號(hào)周期的整數(shù)倍首尾不連續(xù)。1. 增加采樣點(diǎn)數(shù)N提高頻率分辨率Δf。2. 使用加窗函數(shù)如漢寧窗平滑截?cái)噙吘?。注意加窗?huì)降低頻譜幅度并加寬主瓣需進(jìn)行幅度校正。計(jì)算出的頻譜幅度與理論值不符幅度未歸一化。FFT算法沒(méi)有進(jìn)行正確的幅度縮放。對(duì)于雙邊譜Amp np.abs(fft_result) / N。對(duì)于單邊譜實(shí)信號(hào)Amp[0] / N; Amp[1:] / (N/2)。零頻率直流分量異常大信號(hào)存在直流偏移非零均值。在分析前先減去信號(hào)的均值signal signal - np.mean(signal)。頻譜在某個(gè)頻率出現(xiàn)單一尖峰但信號(hào)并無(wú)該周期頻率混淆?？赡苁请娫垂ゎl干擾50/60Hz或設(shè)備固有振動(dòng)頻率。檢查實(shí)驗(yàn)環(huán)境排除固定頻率干擾源。在頻譜圖中工頻干擾通常表現(xiàn)為一個(gè)非常尖銳的孤立峰。使用rfft后做逆變換信號(hào)與原始不一致逆變換函數(shù)用錯(cuò)。正變換用np.fft.rfft逆變換必須用np.fft.irfft。使用ifft會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。相位譜看起來(lái)雜亂無(wú)章1. 信號(hào)信噪比太低相位對(duì)噪聲敏感。2. 計(jì)算相位時(shí)未處理幅值接近零的點(diǎn)。1. 提高信號(hào)質(zhì)量或進(jìn)行平均。2. 在計(jì)算np.angle前先設(shè)置一個(gè)幅值閾值低于閾值的點(diǎn)相位設(shè)為零或忽略。對(duì)圖像做FFT2后低頻分量不在中心未使用fftshift。二維FFT后零頻在四個(gè)角上。使用np.fft.fftshift將零頻移到頻譜圖中心便于觀察。濾波操作后記得用ifftshift移回去再做逆變換。計(jì)算速度很慢尤其是大尺寸圖像使用了樸素的DFT算法O(N2)復(fù)雜度。確保使用FFT算法O(N log N)。對(duì)于卷積操作考慮在頻域利用卷積定理進(jìn)行計(jì)算通常比時(shí)域卷積快得多。變換結(jié)果出現(xiàn)復(fù)數(shù)但輸入是實(shí)信號(hào)這是正常的。經(jīng)典FT輸出就是復(fù)數(shù)。如果需要實(shí)值輸出檢查你是否應(yīng)該使用Fourier余弦變換或正弦變換或者你只是需要取幅度譜np.abs()或功率譜密度PSD。5.2 從傅里葉到小波當(dāng)固定窗口不再適用經(jīng)典Fourier變換及其短時(shí)變體STFT有一個(gè)根本局限它使用固定時(shí)間長(zhǎng)度的窗函數(shù)。這導(dǎo)致了時(shí)間分辨率與頻率分辨率之間的“海森堡”式權(quán)衡想要高頻分辨率窄帶就需要長(zhǎng)時(shí)窗但長(zhǎng)時(shí)窗會(huì)模糊瞬態(tài)事件的時(shí)間定位想要高時(shí)間分辨率就需要短時(shí)窗但短時(shí)窗會(huì)導(dǎo)致頻率分辨率下降。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)如音樂(lè)、地震波、心電圖中特征波形其頻率成分是隨時(shí)間變化的。這時(shí)小波變換Wavelet Transform是更強(qiáng)大的工具。小波變換使用一個(gè)可伸縮、平移的母小波函數(shù)作為核從而能在不同尺度對(duì)應(yīng)不同頻率和不同位置分析信號(hào)實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)時(shí)頻局部化的多分辨率分析。如何選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)法則是如果你的信號(hào)頻率成分相對(duì)穩(wěn)定或者你只關(guān)心全局頻譜Fourier變換及其衍生工具簡(jiǎn)單高效。如果你的信號(hào)包含瞬態(tài)、突變或者你需要同時(shí)精確知道“什么頻率”發(fā)生在“什么時(shí)間”小波變換是更好的選擇。例如在檢測(cè)心電圖的QRS波群一個(gè)短時(shí)瞬態(tài)或分析金融時(shí)間序列的突變點(diǎn)時(shí)小波變換表現(xiàn)出色。理解Fourier變換是理解小波變換的基石。許多小波如Morlet小波本身就是在復(fù)指數(shù)函數(shù)上加了一個(gè)高斯窗可以看作是STFT的一種優(yōu)化變體。掌握了頻域分析的思維再學(xué)習(xí)時(shí)頻分析就會(huì)水到渠成。